विभाजकता के नियम
आइए आज हम 1 से 20 तक के सभी संख्याओं के विभाजकता के नियमों को जानेंगे और उनका अभ्यास भी करेंगे । यदि आप जोड़-घटाव में पटु हों तथा आपको 20 तक का पहाड़ा ठीक तरह से स्मरण हो तो बताए जा रहे नियमों का थोड़ा सा अभ्यास कर लेने के पश्चात् आप चुटकियों में किसी भी संख्या को देख कर बता सकते हैं की यह संख्या किस अंक से विभाजित होगी । हमारी यह यात्रा बहुत रोमांचकारी होने वाली है । तो चलिए शुरु करते हैं.....
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• संख्या 1 से विभाज्यता का सूत्र - सभी पूर्णांक 1 से विभाजित होते है ।
जैसे - 1234 ÷ 1 = 1234.
• संख्या 2 से विभाज्यता का सूत्र - यदि किसी संख्या के अंक में इकाई का अंक 0 या कोई सम संख्या (2, 4, 6 या 8) हो तो वह संख्या 2 से पूर्ण रूप से विभाजित हो जाएगी ।
जैसे – 414 में इकाई का अंक 4 है जो एक सम संख्या है अतः यह 2 से अवश्य विभाजित होगा ।
• संख्या 3 से विभाज्यता का सूत्र – यदि किसी संख्या के सभी अंको का योग 3 से विभाजित हो जाये तो वह संख्या भी अंक 3 से पूर्ण रूप से विभाजित हो जाएगी ।
जैसे - 173241 संख्या में सभी अंको का योग 1+7+3+2+4+1 = 18 आता है, जो 3 से पूरी तरह विभाज्य है अतः संख्या 173241 भी 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाएगी ।
• संख्या 4 से विभाज्यता का सूत्र – यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक इकाई एवं दहाई संयुक्त रूप से 4 से विभाजित होते हों, तो वह समस्त संख्या भी 4 से विभाजित होगी ।
जैसे – 12436 में अन्तिम दो अंक 36 चार से पूरी तरह विभाज्य हैं अतः 12436 भी अंक 4 से पूरी तरह विभाजित होगी ।
• संख्या 5 से विभाज्यता का सूत्र – यदि किसी संख्या के इकाई में अंक 0 या 5 हो तो उस संख्या में 5 का पूरा-पूरा भाग जाएगा ।
जैसे – 158490 में इकाई का अंक 0 है, अतः यह 5 से अवश्य विभाजित होगा ।
• संख्या 6 से विभाज्यता का सूत्र – यदि कोई संख्या 2 व 3 दोनों से पूर्ण रूप से विभाजित हो जाती है, तो वह संख्या 6 से भी पूर्ण रूप से विभाजित हो जाएगी।
जैसे – 1344 में अन्तिम अंक सम संख्या होने से यह 2 से पूरी तरह विभाज्य है और सम्पूर्ण अंको का योग 1+3+4+4=12 भी 3 से विभाज्य होने से यह संख्या अंक 6 से भी पूरी तरह विभाज्य होगी ।
• संख्या 7 से विभाज्यता का सूत्र – इसकी प्रक्रिया थोड़ी लम्बी है, इसमें इकाई अंक को दोगुना करके आवर्ती रूप से शेष संख्या में घटाते जाएँ, यदि अन्तिम परिणाम 7 से विभाज्य है तो वह संख्या भी 7 से विभाज्य होगी ।
जैसे – 3703 में इकाई अंक 3 का दोगुना = 6,
370 - 6 =364, पुनः 4 का दोगुना = 8
36 – 8 = 28, अब इसके आगे यह प्रक्रिया नहीं दुहराई जा सकती, अन्तिम परिणाम 28 हुआ जो 7 से विभाज्य है, अतः 3703 भी 7 से पूरी तरह विभाज्य होगा ।
• संख्या 8 से विभाज्यता का सूत्र – जिस संख्या के अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य हों तो वह संख्या भी 8 से विभाजित होगी ।
जैसे – 47848 में अन्तिम तीन अंक 848 पूरी तरह 8 से विभाजित होते हैं, अतः 47848 भी अंक 8 से पूरी तरह विभाज्य होगी ।
• संख्या 9 से विभाज्यता का सूत्र – इसका नियम भी अंक 3 की तरह है, जिस संख्या के अंको का योग 9 से विभाजित हो जाये, वह संख्या भी 9 से विभाजित होगी ।
जैसे – 89352 के सभी अंकों का योग 8+9+3+5+2=27 है जो 9 से पूरी तरह विभाजित होती है अतः संख्या 89352 भी 9 से पूरी तरह विभाजित होगी ।
• संख्या 10 से विभाज्यता का सूत्र – जिस संख्या का अंतिम अंक 0 होगा व 10 से पूर्ण विभाजित होगी।
जैसे – 111210 में अन्तिम अंक 0 है अतः यह संख्या 10 से पूर्णतः विभाजित होगी ।
• संख्या 11 से विभाज्यता का सूत्र – किसी संख्या के सम स्थानों के अंको का योग और विषम स्थानों के अंको का योग करके परस्पर घटा दिया जाए तब यदि परिणाम 0 आ जाये या कोई ऐसी संख्या आए जो 11 से विभाजित होती हो तो प्रदत्त संख्या भी 11 से विभाजित होगी।
जैसे – 9779 में सम स्थानों के संख्या का योग 7 + 9 = 16 है तथा विषम स्थानों के संख्या का योग 9 + 7 = 16 है, इनका अंतर 16 – 16 = 0 है, अतः संख्या 9779 अंक 11 से विभाजित होगी ।
• संख्या 12 से विभाज्यता का सूत्र – इसका नियम अंक 6 के नियम से मिलता-जुलता है, जो संख्या 3 व 4 दोनों से पूर्णतः विभाजित हो जाये वह 12 से भी विभाजित हो जाएगी।
जैसे – 10668 में सम्पूर्ण अंकों का योग 1+0+6+6+8=21 है जो 3 से पूर्णतः विभाजित होती है, पुनश्च 10668 के अन्तिम दो अंक 68 चार से पूरी तरह विभाज्य अर्थात् यह संख्या 10668 तीन तथा चार दोनों अंकों से विभाजित होने के करण अंक 12 से भी पूर्णतः विभाजित होगी ।
• संख्या 13 से विभाज्यता का सूत्र – इसका नियम 7 के विभाज्यता नियम से मिलता जुलता है, इसमें इकाई अंक को चार गुना करके आवर्ती रूप से शेष संख्या में जोड़ते जाएँ, यदि अन्तिम परिणाम 13 से विभाज्य है तो वह संख्या भी 13 से विभाज्य होगी ।
जैसे – 11674 में इकाई अंक 4 का चार गुना 16 को शेष संख्या 1167 में जोड़ने पर 1183 प्राप्त हुआ पुनः 3 x 4 = 12, 118+12 =130 पुनः 0 x 4 = 0, 13 + 0 = 13 यह अन्तिम परिणाम 13 से विभाज्य है अतः संख्या 11674 भी अंक 13 से विभाजित होगी ।
• संख्या 14 से विभाज्यता का सूत्र – जो संख्या 2 व 7 से भाज्य होगी वह 14 से भी विभाजित हो जाएगी ।
जैसे – 6076 में 6 x 2 = 12 अब 607 – 12 = 595, पुनः 5 x 2 = 10 और 59 – 10 = 49 यह अन्तिम परिणाम 7 से विभाज्य है अतः 6076 भी 7 से विभाजित हो जाएगी तथा इस संख्या के अन्त में सम संख्या 6 होने से यह 2 से भी विभाज्य है अतः स्पष्ट है की नियमानुसार यह संख्या 14 से पूरी तरह विभाजित हो जाएगी ।
• संख्या 15 से विभाज्यता का सूत्र – कोई भी संख्या 15 से विभाजित हो सकती है यदि इसके इकाई का अंक 0 या 5 हो तथा यह 3 से पूरी तरह विभाजित होता हो ।
जैसे – 8925 के अंकों का योग 8+9+2+5 = 24 है जो 3 से पूरी तरह विभाजित हो सकती है अतः 8925 भी 3 से पूरी तरह विभाजित होगी साथ ही इसके इकाई का अंक 5 है अतः नियमानुसार यह संख्या 15 से पूरी तरह विभाजित होगी ।
• संख्या 16 से विभाज्यता का सूत्र – यदि प्रदत्त संख्या का हजार स्थानिक अंक सम हो तथा इसके अन्तिम 3 अंक 16 से विभाजित होते हों तो समझ लेना चाहिए की प्रदत्त संख्या भी 16 से पूर्णतः विभाजित होगी ।
जैसे – 142800 का हजार स्थानिक अंक 2 एक सम संख्या है तथा अन्तिम तीन अंक 800 सोलह से पूरी तरह विभाजित होते हैं अतः संख्या 142800 भी 16 से पूरी तरह विभाजित होगी।
• संख्या 17 से विभाज्यता का सूत्र – इसकी प्रक्रिया थोड़ी लम्बी है, इसमें इकाई अंक को पाँच गुना करके आवर्ती रूप से शेष संख्या में घटाते जाएँ, यदि अन्तिम परिणाम 17 से विभाज्य है तो वह समस्त संख्या भी 17 से विभाज्य होगी ।
जैसे – 15215 में 5 x 5 = 25, 1521 – 25 =1496
पुनः 1496 में 6 x 5 = 30, 149 – 30 = 119 यह अन्तिम परिणाम 17 से विभाज्य है अतः संख्या 1496 भी 17 से पूरी तरह विभाजित होगी ।
• संख्या 18 से विभाज्यता का सूत्र – जो संख्या 2 एवं 9 से पूरी तरह विभाजित होती हो वह 18 से भी भाज्य होगी ।
जैसे – 8208 में अंको का योग 8+2+0+8 = 18 अंक 9 से पूरी तरह विभाजित होती है अतः संख्या 8208 भी 9 से पूरी तरह विभाजित होगी साथ ही इसका इकाई अंक सम संख्या होने से यह 2 से भी विभाज्य है अतः नियमानुसार संख्या 8208 अंक 18 से पूरी तरह विभाजित होगी ।
• संख्या 19 से विभाज्यता का सूत्र – प्रदत्त संख्या के इकाई अंक को दोगुना करके आवर्ती रूप से शेष संख्या में जोड़ते जाएँ, यदि अन्तिम परिणाम 19 से विभाज्य है तो वह संख्या भी 19 से विभाज्य होगी ।
जैसे – 155952 में 2 x 2 = 4, 15595 + 4 = 15599
पुनः 15599 में 9 x 2 = 18, 1559 + 18 = 1577
पुनः 1577 में 7 x 2 = 14, 157+ 14 = 171 यह अन्तिम परिणाम 19 से पूरी तरह विभक्त होता है अतः समस्त संख्या 155952 भी 19 से पूर्णतः विभाजित होगी ।
• संख्या 20 से विभाज्यता का सूत्र - यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 20 से पूरी तरह विभक्त होते हैं, तो वह संख्या भी 20 से विभाजित होगी ।
जैसे – 179820 के अन्तिम दो अंक 20 को यदि 20 से भाग दिया जाए तो ये पूरी तरह विभक्त हो जाएगा अतः नियमानुसार 179820 भी 20 से पूरी तरह विभाजित हो जाएगा ।
- ब्रजेश पाठक ज्यौतिषाचार्य
कृष्ण जन्माष्टमी, संवत २०७९
